1. При сворачивании окна оно сворачивается стандартным для виндовс образом - в панель задач. В настройках Квирка есть опция "Сворачиваться в трей при закрытии окна" - при щелчке по крестику квирк прячется в трей.
2. На весь экран квирк у меня не открывается. Также в настройках есть опция, при включении которой квирк стартует спрятанным в трей.
3. Кнопка добавления фона открывает диалог выбора файла.
4. Цвет текста при вводе из извещателя? Что это?
5. Когда выбираешь "Инструменты - Сделать скриншот" - тут же появляется диалог сохранения png-файла скриншота.
6. "Толстенная уродская полоска под темой канала" - шоза?..

4.0.2, скачанная по ссылке с kvirc.ru, опробованная на Windows 7 x64.

Варианты ваших действий:
1) удалить квирк и удалить все файлы настроек. После этого начисто установить Квирк (при установке происходит деинсталляция старого квирка и дается возможность выбрать удаление настроек)
2) скачать отсюда ftp://ftp.kvirc.de/pub/kvirc/snapshots/win32/ свеженькую сборку.